Probabilités conditionnelles - STI2D/STL

Calcul de probabilité

Exercice 1 : Lecture d'arbre - déterminer P(T)

Un laboratoire de recherche met au point un test de dépistage d'une maladie chez une espèce animale. Le pourcentage d'animaux malades dans la population est connu.
On note \(M\) l'événement « l'animal est malade » et \(T\) l'événement « le test est positif ».

En se servant de l'arbre ci-dessous, déterminer \(P(T)\).
{"M": {"T": {"value": "0,91"}, "\\overline{T}": {"value": "0,09"}, "value": "0,12"}, "\\overline{M}": {"T": {"value": "0,18"}, "\\overline{T}": {"value": "0,82"}, "value": "0,88"}}

On arrondira le résultat à \(10^{-4}\).

Exercice 2 : Calculer des probabilités conditionnelles en situation concrète

Dans un club de vacances de \( 1\:000\) clients, on a constaté que \( 42\:\% \) des vacanciers pratiquent le golf et, parmi eux, \( 20\:\% \) pratiquent aussi le tennis. \( 49\:\% \) des vacanciers pratiquent le tennis.
On croise au hasard un vacancier du club.
On note \( G \) : l’événement « le vacancier pratique le golf » et \( T \) : l’événement « le vacancier pratique le tennis »

Compléter le tableau suivant :
{"header_top": ["Pratiquent le Golf", "Ne pratiquent pas le Golf", "Total"], "header_left": ["Pratiquent le Tennis", "Ne pratiquent pas le Tennis", "Total"], "data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"], ["?", "?", "1000"]]}
Déterminer \( p(G) \).
Déterminer \( p_{G}(T) \).
Déterminer \( p(G \cap T) \).
Déterminer \( p(G \cup T) \).
On rencontre un vacancier pratiquant le tennis, déterminer la probabilité qu'il pratique aussi le golf.
On donnera un résultat arrondi au millième.

Exercice 3 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
30% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 10% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :
  • 6% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
  • 7% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
  • 9% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.
On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :
  • \( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
  • \( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
  • \( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
  • \( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_2) \).
Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi soit défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_1 \) ?
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"F_1": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_2": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_3": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_3 \) et est défectueux »
Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 4 : Probabilité conditionnelle en situation concrète avec un tableau rempli, questions en langage mathématique

Dans un collège de 1000 élèves, on a constaté que :
  • - 35% font du basketball
  • - 43% font du handball et, parmi eux, 20% font aussi du basketball
On note :
  • - S1 : l’événement « l'élève fait du handball »
  • - S2 : l’événement « l'élève fait du basketball »
On donnera les informations sous forme d'un tableau :
Pratique le handballNe pratique pas le handballTotal
Pratique le basketball\(86\)\(264\)\(350\)
Ne pratique pas le basketball\(344\)\(306\)\(650\)
Total\(430\)\(570\)\(1000\)

 
Indiquer la probabilité \(P_{}(S2) \).
Indiquer la probabilité \( P_{S1}(S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(S1 \cap S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(S1 \cup S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(\overline{S2}) \).

Exercice 5 : Lecture d'arbre - déterminer proba du test

Un laboratoire de recherche met au point un test de dépistage d'une maladie chez une espèce animale. Le pourcentage d'animaux malades dans la population est connu.
On note \(M\) l'événement « l'animal est malade » et \(T\) l'événement « le test est positif ».

En se servant de l'arbre ci-dessous, déterminer la probabilité qu'un animal soit malade lorsque le test est positif.
{"M": {"T": {"value": 0.9}, "\\overline{T}": {"value": 0.1}, "value": 0.06}, "\\overline{M}": {"T": {"value": 0.12}, "\\overline{T}": {"value": 0.88}, "value": 0.94}}
On donnera la réponse sous la forme d'un arrondi à \(10^{-4}\).
Revenir au choix du niveau
False